Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 34 & 64 \\ 7 & 13 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$34 \cdot 13 - 7 \cdot 64$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $34$ par $13$ .

$442 - 7 \cdot 64$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $64$ .

$442 - 448$

Étape 2.2.2

Soustrayez $448$ de $442$ .

$- 6$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{6}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} \cdot 13 & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot 13$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Associez $- 13$ et $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot - 32 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- - 32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{6} \cdot - 7$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ 7 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Associez $7$ et $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{6}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 34 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Étape 7.7.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Étape 7.7.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot 17 \end{array}]$

Étape 7.8

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1 \cdot 17}{3} \end{array}]$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 17}{3} \end{array}]$

Étape 7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{17}{3} \end{array}]$